Volume d'une sphère

La formule du volume d'une sphère

Le volume d'une boule se calcule avec une seule mesure : son rayon.

V = 4/3 × π × r³

• r est le rayon : la distance entre le centre de la boule et sa surface. C'est la moitié du diamètre, la largeur totale de la boule.
• r³ se lit « r au cube » : r × r × r.
• π (pi) vaut environ 3,14159. Gardez la touche π de la calculatrice plutôt qu'un arrondi.
• 4/3 veut dire : multiplier par 4, puis diviser par 3.

Le volume sort dans l'unité du rayon, au cube. Un rayon en centimètres donne des cm³, un rayon en mètres donne des m³. Le calculateur ci-dessus demande le diamètre, plus facile à mesurer, et le divise lui-même par 2.

Exemple résolu pas à pas

Exemple : une boule de jardin de 30 cm de diamètre. Quel est son volume ?

1. Le rayon. r = 30 / 2 = 15 cm.
2. L'unité. Pour un résultat en m³, convertissez avant de calculer : 15 cm = 0,15 m.
3. Le cube du rayon. 0,15 × 0,15 × 0,15 = 0,003375.
4. Fois π. 0,003375 × π ≈ 0,010603.
5. Fois 4, divisé par 3. 0,010603 × 4 / 3 ≈ 0,014137 m³.
6. Le résultat. Arrondi à trois décimales : 0,014 m³, soit 14,1 L (1 m³ = 1 000 L).

Le même calcul en centimètres : 15³ = 3 375, puis 3 375 × π × 4 / 3 ≈ 14 137 cm³. Comme 1 000 cm³ font 1 litre, on retrouve 14,1 L. Le passage d'une unité à l'autre est détaillé sur la page conversion des unités de volume.

L'erreur classique : le diamètre à la place du rayon

Un résultat qui paraît énorme est le premier signe de cette erreur. Un second contrôle : une boule tient dans un cube dont le côté est son diamètre. Son volume doit donc être un peu plus de la moitié de celui de ce cube. Pour la boule de 30 cm, le cube fait 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027 m³, soit 27 L : 14,1 L est plausible, 113 L ne l'est pas.

Ce rapport est fixe : une boule occupe π/6, soit environ 52 % du cube qui la contient. Une boule rangée dans un carton à sa taille laisse donc près de la moitié du carton vide.

Demi-sphère : la moitié de la boule

Une demi-sphère (ou demi-boule) se calcule en divisant le volume de la boule par 2 :

V = 2/3 × π × r³

Exemple : une vasque en demi-sphère de 1,20 m de diamètre.

1. Rayon : r = 1,20 / 2 = 0,60 m.
2. Cube du rayon : 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,216.
3. Fois π : 0,216 × π ≈ 0,6786.
4. Fois 2, divisé par 3 : 0,6786 × 2 / 3 ≈ 0,452 m³, soit 452,4 L si elle est remplie à ras bord.

Un exercice de brevet repris par Sésamath calcule une demi-boule de 6 cm de rayon : 144π cm³, soit environ 452,4 cm³. Les chiffres sont les mêmes que pour la vasque, et ce n'est pas un hasard. Le rayon de la vasque (60 cm) est 10 fois plus grand, donc son volume est 10 × 10 × 10 = 1 000 fois plus grand : 452,4 cm³ × 1 000 = 452 400 cm³ = 452,4 L.

Un cylindre surmonté d'une demi-boule

Les attendus de fin de 3e demandent de calculer des assemblages, par exemple un cylindre surmonté d'une demi-boule de même diamètre. On calcule chaque morceau, puis on additionne. Avec un rayon de 6 cm et un cylindre de 6 cm de haut : cylindre π × 6² × 6 = 216π cm³, demi-boule 144π cm³, total 360π ≈ 1 131 cm³, soit environ 1,13 L.

La boule, les deux tiers du cylindre qui la contient

En prolongement historique, le programme de mathématiques de 3e évoque un résultat attribué à Archimède (IIIe siècle avant J.-C.) : la boule occupe les deux tiers du cylindre qui la contient exactement (même diamètre, hauteur égale au diamètre).

Vérification sur la boule de 30 cm : le cylindre de 30 cm de diamètre et de 30 cm de haut contient π × 0,15² × 0,3 ≈ 0,0212 m³, soit 21,2 L. Les deux tiers de 21,2 L donnent bien 14,1 L. Le lien entre toutes les formes est résumé sur la page des formules de volume.

Mesurer une boule sans atteindre son centre

Sur un objet réel (ballon, boule de pierre, cuve ronde), le diamètre est difficile à mesurer droit. Le tour, lui, se prend facilement au mètre ruban.

Boule aplatie ou allongée : l'ellipsoïde

Un objet ovale (un œuf, un ballon de rugby, une boule écrasée) n'est pas une sphère. Sa forme mathématique est l'ellipsoïde, défini par trois demi-axes a, b et c : la moitié de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Son volume vaut :

V = 4/3 × π × a × b × c

Un exercice corrigé d'un cours d'analyse de l'université de Liège retrouve cette formule par le calcul intégral et note qu'elle redonne la sphère quand a = b = c. Pour un objet réel, le résultat reste une estimation : sa forme n'est jamais un ellipsoïde parfait.

Et ensuite

Pour exprimer le résultat dans une autre unité (dm³, hL, mL), utilisez la page m³ en litres. Le cône, lui aussi lié au cylindre, se calcule sur la page volume d'un cône.