Volume d'un cône

La formule du volume d'un cône

V = 1/3 × π × r² × h

• r est le rayon de la base, la moitié de son diamètre.
• r² se lit « r au carré » : r × r. Multiplié par π, il donne l'aire du disque de base.
• h est la hauteur : la distance verticale entre la pointe (le sommet) et la base.
• 1/3 veut dire : diviser par 3 à la fin.

On peut donc retenir la formule en mots : aire de la base × hauteur / 3. C'est la même que celle de la pyramide ; seule la base change, un disque au lieu d'un polygone.

Toutes les mesures doivent être dans la même unité avant de multiplier. Le calculateur ci-dessus accepte des m, des cm ou des mm, demande le diamètre et le divise lui-même par 2.

Exemple résolu : le volume d'un tas de sable

Exemple : un tas de sable livré en cône mesure 3 m de diamètre au sol et 1,20 m de haut. Quel est son volume ?

1. Le rayon. r = 3 / 2 = 1,5 m.
2. Le rayon au carré. 1,5 × 1,5 = 2,25 m².
3. L'aire de la base. π × 2,25 ≈ 7,069 m².
4. Fois la hauteur. 7,069 × 1,2 ≈ 8,482 m³. C'est le volume du cylindre de même base et de même hauteur.
5. Divisé par 3. 8,482 / 3 ≈ 2,83 m³, soit environ 2 827 L.

Du sable sec en vrac pèse environ 1,45 t/m³ : ce tas représente donc environ 4,1 t. Le détail des masses et du nombre de big bags se trouve sur la page poids de la terre, du sable et du gravier.

Un tas réel n'est jamais un cône parfait : son sommet s'arrondit et sa base s'étale. Le résultat est une estimation. Pour mesurer le diamètre d'un gros tas, prenez son tour au sol et divisez-le par π.

Le cône, tiers du cylindre

Un cône contient exactement le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. Dans l'exemple, le cylindre fait 8,48 m³ et le cône 2,83 m³. Autrement dit, il faut trois cônes pleins pour remplir le cylindre.

Cette règle donne un contrôle rapide. Calculez d'abord le cylindre (π × r² × h, voir la page volume d'un cylindre), puis divisez par 3. Si votre cône dépasse la moitié du cylindre, une étape est fausse.

Deux pièges : le rayon et la génératrice

Le second piège concerne la hauteur. La génératrice est la longueur mesurée le long du flanc du cône, de la pointe jusqu'au bord de la base. Elle n'est pas la hauteur : elle est toujours plus longue.

Si l'énoncé ne donne que la génératrice g, la hauteur se calcule avec le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle formé par la hauteur, le rayon et la génératrice :

h = √(g² - r²)

Exemple : un cône de 5 cm de rayon et de 13 cm de génératrice.

1. Hauteur : √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm.
2. Aire de la base : π × 5² = 25π ≈ 78,54 cm².
3. Volume : 78,54 × 12 / 3 ≈ 314,2 cm³ (exactement 100π cm³).

Avec 13 cm à la place de 12 cm, on trouverait 340,3 cm³, soit 8 % de trop.

Tronc de cône : seau, pot de fleurs, cuve évasée

Un seau, un pot de fleurs ou une cuve plus large en haut qu'en bas ont la forme d'un tronc de cône : un cône dont on a coupé la pointe parallèlement à la base. Son volume vaut :

V = π × h / 3 × (R² + R × r + r²)

R est le grand rayon (en haut), r le petit rayon (au fond), h la hauteur entre les deux. Le calculateur ci-dessus traite le cône entier : pour un tronc de cône, faites le calcul à la main.

Exemple tiré d'un article publié par l'APMEP (Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public), dont l'auteur a vérifié la formule en remplissant un seau au compteur d'eau : 27,5 cm de diamètre en haut, 21 cm au fond, 26 cm de haut.

1. Les rayons. R = 27,5 / 2 = 13,75 cm ; r = 21 / 2 = 10,5 cm.
2. La parenthèse. R² = 189,0625 ; R × r = 144,375 ; r² = 110,25. Total : 443,6875.
3. Le facteur π × h / 3. π × 26 / 3 ≈ 27,227.
4. Le volume. 27,227 × 443,6875 ≈ 12 080 cm³, soit 12,08 L.

L'article indique un volume affiché au compteur de 12 L : le calcul concorde. On peut aussi calculer le grand cône entier et lui retirer la petite pointe coupée, comme dans un exercice de brevet repris par Sésamath. Le résultat est le même.

Autre exemple : un pot de fleurs de 40 cm de diamètre en haut, 30 cm au fond et 35 cm de haut contient π × 35 / 3 × (20² + 20 × 15 + 15²) ≈ 33,9 L de terreau, rempli à ras bord.

Et ensuite

Pour comparer avec les autres solides, la page des formules de volume réunit toutes les formes. Pour convertir le résultat en litres, en dm³ ou en hL, utilisez la page m³ en litres.