Quelle est la formule du volume ?

Il n'y en a pas une seule : chaque forme a la sienne. Pour un pavé, V = longueur × largeur × hauteur ; pour un cylindre, V = π × rayon² × hauteur ; pour une boule, V = 4/3 × π × rayon³. Le tableau de cette page réunit les principales.

Comment calculer un volume en m³ ?

Convertissez toutes les cotes en mètres, puis appliquez la formule de la forme. Le résultat sort directement en m³. Par exemple, un bac de 120 cm sur 80 cm et 60 cm de haut fait 1,2 × 0,8 × 0,6 = 0,576 m³.

Quelle est la formule du volume d'un cercle ?

Un cercle n'a pas de volume, seulement une aire : π × rayon². Si l'objet a une épaisseur, c'est un cylindre (π × rayon² × hauteur). Si c'est une boule, c'est une sphère (4/3 × π × rayon³).

Quelle est la formule du volume d'un tétraèdre ?

Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire. Son volume vaut aire de la base × hauteur / 3, l'aire du triangle étant base × hauteur du triangle / 2. Exemple : base de 3 m², hauteur de 2,5 m, volume de 2,5 m³.

Quelle formule relie la masse et le volume ?

Masse = masse volumique × volume, et volume = masse / masse volumique. Avec une masse volumique en t/m³ et un volume en m³, la masse sort en tonnes. Avec des kg/L et des litres, elle sort en kg.

Formules de volume : cube, cylindre, cône, sphère, pyramide

Les formules de volume des solides étudiés au collège, et quelques autres utiles à la maison, avec la méthode pour les appliquer sans erreur d'unité ni d'arrondi.

Le tableau des formules de volume

Le tableau réunit les solides du calculateur, le cube et deux variantes utiles (demi-sphère, tronc de cône). Chaque exemple est calculé avec des cotes en mètres ; le volume sort en m³, puis en litres.

Formules de volume et exemple calculé
Forme	Formule	Exemple	Volume
Pavé droit	V = longueur × largeur × hauteur	L = 4 m, l = 3 m, h = 1,5 m	18 m³ (18 000 L)
Cube	V = côté × côté × côté = côté³	a = 2 m	8 m³ (8 000 L)
Cylindre	V = π × rayon² × hauteur	D = 1,2 m, h = 2 m	2,26 m³ (2 262 L)
Sphère (boule)	V = 4/3 × π × rayon³	D = 0,5 m	0,065 m³ (65,45 L)
Demi-sphère	V = 2/3 × π × rayon³	D = 1 m	0,262 m³ (261,8 L)
Cône	V = 1/3 × π × rayon² × hauteur	D = 2 m, h = 1,5 m	1,57 m³ (1 571 L)
Tronc de cône (seau, cuve évasée)	V = π × h / 3 × (R² + R × r + r²)	D = 0,3 m, d = 0,25 m, h = 0,3 m	0,018 m³ (17,87 L)
Pyramide à base rectangulaire	V = 1/3 × aire de la base × hauteur	L = 3 m, l = 3 m, h = 2 m	6 m³ (6 000 L)

Ce que veut dire chaque lettre

L, l, h : longueur, largeur et hauteur, mesurées à angle droit.
a : le côté d'un cube.
D : le diamètre, la largeur d'un cercle mesurée en passant par son centre.
r : le rayon, la distance du centre au bord. r = D / 2. Dans le tronc de cône, R est le grand rayon, r le petit.
π (« pi ») : le rapport entre le tour d'un cercle et son diamètre, environ 3,14159.
r², r³ : r × r, et r × r × r.
Aire de la base : la surface de la face de base (celle sur laquelle le solide repose quand il est debout), en m².

Le programme de mathématiques du collège répartit les formules principales sur trois ans : cube, pavé, prisme droit et cylindre en 5e, pyramide et cône en 4e, boule en 3e. Le tronc de cône et l'ellipsoïde n'y figurent pas ; la demi-boule se déduit de la boule.

Comment calculer un volume, pas à pas

Reconnaître la forme. Si l'objet est composé, découpez-le en formes simples ; vous additionnerez les volumes à la fin.
Relever les cotes que demande la formule. Pour une forme ronde, divisez le diamètre par deux pour obtenir le rayon.
Tout mettre dans la même unité, en mètres de préférence. Le volume sortira dans cette unité au cube : des mètres donnent des m³, des centimètres des cm³.
Calculer dans l'ordre : les puissances d'abord (r², r³), puis les multiplications, la division par 3 en dernier.
Arrondir à la fin seulement, puis écrire l'unité. Le calculateur garde trois décimales sous 1 m³, deux de 1 à 1 000 m³.

Exemple résolu : un silo, cylindre surmonté d'une demi-boule

Les attendus de fin de 3e (Eduscol) citent ce cas : l'élève « calcule le volume d'un cylindre surmonté d'une demi-boule de même diamètre ». Exemple fictif : un silo de 2 m de diamètre, dont la partie droite mesure 3 m de haut.

Données : D = 2 m, donc r = 2 / 2 = 1 m ; h = 3 m.
Cylindre : V₁ = π × r² × h = π × 1 × 3 = 3π, soit environ 9,42 m³.
Demi-boule : V₂ = 2/3 × π × r³ = 2/3 × π × 1 = 2π/3, soit environ 2,09 m³.
Total : V = 3π + 2π/3 = 11π/3, soit environ 11,52 m³, ou 11 519 L.

Additionner les valeurs exactes, puis arrondir, évite de cumuler les erreurs d'arrondi. Ici, 9,42 + 2,09 donne 11,51 : un centième de moins que le bon résultat.

Gardez π jusqu'au bout

Utilisez la touche π de la calculatrice plutôt que 3,14. Pour un silo de 6 m de diamètre et 12 m de haut, 3,14 × 3² × 12 donne 339,12 m³, alors que la valeur juste est 339,29 m³. L'écart est faible, mais il fausse les derniers chiffres du résultat.

Les solides droits : aire de la base × hauteur

Un solide droit garde la même section du bas jusqu'en haut. Son volume vaut toujours l'aire de cette section multipliée par la hauteur.

Pavé droit : la base est un rectangle, V = L × l × h. Le volume du cube et du pavé détaille ce cas, le plus courant.
Cube : pavé dont les trois cotes sont égales, V = a³.
Prisme droit : base de forme quelconque. Triangle : aire = base × hauteur / 2. Trapèze : aire = (grande base + petite base) × hauteur / 2.
Cylindre : la base est un disque d'aire π × r², donc V = π × r² × h. Voir le volume du cylindre.

Exemple fictif : un fossé de 10 m de long, large de 1 m en haut et de 0,4 m au fond, profond de 0,6 m. Sa section est un trapèze : (1 + 0,4) × 0,6 / 2 = 0,42 m². Le volume vaut 0,42 × 10 = 4,2 m³.

Les solides pointus : un tiers

Une pyramide ou un cône qui a la même base et la même hauteur qu'un prisme ou un cylindre contient exactement trois fois moins. D'où le « / 3 » de leurs formules.

Pyramide : V = aire de la base × h / 3. Base carrée ou rectangulaire : V = L × l × h / 3.
Tétraèdre : pyramide à base triangulaire. Exemple : la base est un triangle dont un côté mesure 3 m et la hauteur relative à ce côté 2 m, soit 3 × 2 / 2 = 3 m² ; hauteur du solide 2,5 m ; V = 3 × 2,5 / 3 = 2,5 m³.
Cône : V = π × r² × h / 3. Un tas de sable conique en est l'exemple courant.

La hauteur h se mesure à la verticale, du sommet à la base. Ce n'est ni l'arête de la pyramide, ni la génératrice du cône (le segment qui va du sommet au bord de la base, le long de la pente).

La boule et ses variantes

Sphère (boule) : V = 4/3 × π × r³. La boule occupe les deux tiers du cylindre qui la contient exactement, un résultat que le programme de 3e attribue à Archimède (IIIe siècle avant J.-C.).
Demi-sphère : V = 2/3 × π × r³, la moitié de la boule.
Ellipsoïde (boule aplatie ou allongée, de demi-axes a, b et c) : V = 4/3 × π × a × b × c. Si a = b = c, on retrouve la sphère.

Le rayon est au cube : une erreur de rayon pèse lourd. Avec le diamètre à la place du rayon, le résultat est huit fois trop grand. La page sur le volume de la sphère montre un exemple complet.

Le tronc de cône : seau, pot, cuve évasée

Un seau est un cône dont on aurait coupé la pointe. Son volume vaut V = π × h / 3 × (R² + R × r + r²), avec R le grand rayon, r le petit et h la hauteur.

Un article paru dans le bulletin de l'APMEP (Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public) l'a vérifié sur un vrai seau : 27,5 cm de diamètre en haut, 21 cm en bas, 26 cm de haut. R = 13,75 cm et r = 10,5 cm, donc V = π × 26 / 3 × (13,75² + 13,75 × 10,5 + 10,5²), soit environ 12 080 cm³, ou 12,08 L. Le compteur d'eau, lui, indiquait 12 L : moins de 1 % d'écart.

Volume, aire et masse : trois formules à ne pas confondre

Aire et volume. Une aire multiplie deux longueurs et s'exprime en m² ; un volume en multiplie trois et s'exprime en m³. Pour passer de l'un à l'autre, il faut une épaisseur : volume = aire × épaisseur. Voir la page m³ en m².
Masse et volume. La masse volumique (symbole ρ, « rhô ») est la masse d'un mètre cube de matière. Masse = ρ × volume. Exemple fictif : une plaque d'acier de 2 m × 1 m × 1 cm fait 2 × 1 × 0,01 = 0,02 m³ ; à 7 850 kg/m³, elle pèse 0,02 × 7 850 = 157 kg. Les valeurs sont sur la page masse volumique.
Unités de volume. Un résultat en cm³ se convertit en m³ en divisant par 1 000 000, et non par 100. Le tableau de conversion des unités de volume donne tous les facteurs.

Et les piscines ?

Une piscine se calcule comme un prisme droit dont la hauteur serait la profondeur moyenne. Rectangulaire : L × l × profondeur moyenne. Ronde : π × r² × profondeur. Ovale en ellipse : π/4 × L × l × profondeur. Pour un fond en pente régulière, la profondeur moyenne vaut (petite + grande profondeur) / 2. La page sur le volume d'une piscine traite aussi l'ovale à bouts ronds et la forme libre.

Pour appliquer une formule sans calculer à la main, utilisez le calculateur en haut de la page : choisissez la forme, saisissez les cotes, et comparez avec votre propre calcul.

Formules de volume

Calculateur de volume

La formule du volume d'un pavé