Volume du cube et du pavé

La formule du volume d'un pavé droit

V = longueur × largeur × hauteur, ou V = L × l × h.

Un pavé droit est une boîte à six faces rectangulaires, toutes à angle droit. On l'appelle aussi parallélépipède rectangle : c'est le même solide. Une caisse, un carton, une pièce, un bac à fleurs ou une tranchée en sont des exemples.

On cherche souvent « le volume d'un rectangle ». Un rectangle est plat : il n'a qu'une aire, longueur × largeur, en m². Il devient un pavé quand on lui donne une hauteur. Le volume vaut alors cette aire multipliée par la hauteur.

Peu importe la cote que vous appelez longueur ou largeur : la multiplication donne le même résultat dans n'importe quel ordre. Ce qui compte, c'est que les trois cotes soient mesurées à angle droit l'une de l'autre, et dans la même unité.

La formule du volume d'un cube

V = côté × côté × côté = côté³, ou V = a³.

Le cube est un pavé dont les trois cotes sont égales. Un cube de 2 m de côté contient 2 × 2 × 2 = 8 m³, soit 8 000 L.

Doubler le côté multiplie le volume par 8, et non par 2. À l'inverse, un cube de 50 cm de côté ne contient pas la moitié d'un mètre cube : 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125 m³, soit 125 L. Il en faut huit pour remplir un cube d'un mètre.

Exemple résolu : un bac mesuré en centimètres

Exemple fictif : un bac de rangement mesure 120 cm de long, 80 cm de large et 60 cm de haut. Quel est son volume ?

1. Conversion en mètres : 120 cm = 1,2 m ; 80 cm = 0,8 m ; 60 cm = 0,6 m.
2. Calcul : V = 1,2 × 0,8 × 0,6 = 0,576 m³.
3. En litres : 0,576 × 1 000 = 576 L.

Contrôle en centimètres : 120 × 80 × 60 = 576 000 cm³. Comme 1 L = 1 000 cm³, on retrouve 576 L. Le calculateur donne le même chiffre si vous choisissez « cm » et saisissez 120, 80 et 60.

Le mètre cube : ce qu'il représente

Le mètre cube est l'unité légale de volume en France. Le décret n° 61-501 le définit comme « le volume d'un cube ayant 1 mètre de côté ». Le même article permet de donner au décimètre cube le nom de litre.

Les correspondances en découlent :

• 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L ;
• 1 m³ = 1 000 000 cm³, car un cube d'un mètre contient 100 × 100 × 100 petits cubes d'un centimètre ;
• 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, et 1 mL = 1 cm³.

Un volume ne se convertit donc pas comme une longueur. Chaque cran d'unité (m³, dm³, cm³, mm³) vaut un facteur 1 000, et non 10. La page m³ en litres et le tableau de conversion des unités de volume détaillent toutes les conversions.

Exemple : les mètres cubes d'une pièce

Exemple fictif : une chambre de 4,2 m sur 3,5 m, sous un plafond de 2,5 m. Son volume vaut 4,2 × 3,5 × 2,5 = 36,75 m³. C'est le volume d'air de la pièce vide. Si le plafond est en pente, découpez la pièce en un pavé et un prisme, puis additionnez.

Le volume d'un prisme droit

V = aire de la base × hauteur.

Un prisme droit garde la même section d'un bout à l'autre. Le pavé en est un cas particulier, à base rectangulaire. Quand la base est un triangle, on calcule d'abord son aire, base × hauteur du triangle / 2, puis on la multiplie par la longueur du prisme.

Exemple fictif : un merlon de terre (une butte allongée) de 6 m de long, dont la section est un triangle de 2 m de base et de 1,5 m de haut.

1. Aire de la section : 2 × 1,5 / 2 = 1,5 m².
2. Volume : 1,5 × 6 = 9 m³.

Un mètre cube de terre en tas ne pèse pas autant qu'un mètre cube de terre en place, car la terre remuée gonfle. Pour passer de ces 9 m³ à des tonnes, voir le poids de la terre, du sable et du gravier. Pour une base en trapèze, comme un fossé, l'aire vaut (grande base + petite base) × hauteur / 2 : la page des formules de volume en donne un exemple.

Du volume à la surface, et l'inverse

Pour une couche mince (gravier, terre végétale, paillage), le pavé se calcule à partir d'une surface : volume = surface × épaisseur. Une allée de 20 m² couverte sur 5 cm demande 20 × 0,05 = 1 m³. L'opération inverse, combien de m² couvre un m³, se fait sur la page m³ en m².

Si votre bac est une piscine rectangulaire, la hauteur à retenir est la profondeur d'eau moyenne, et non la hauteur des parois : voir le volume d'une piscine. Pour une cuve ronde, passez au volume du cylindre.