Volume d'un cylindre

La formule du volume d'un cylindre

V = π × r² × h

• r est le rayon : la distance du centre au bord du cercle, soit la moitié du diamètre.
• h est la hauteur du cylindre, ou sa longueur s'il est couché.
• π (« pi ») vaut environ 3,14159. Le calculateur ne l'arrondit pas à 3,14.

La formule se lit en deux temps. π × r² est l'aire du disque de base, en m². On la multiplie par la hauteur, comme pour tout solide droit dont la section ne change pas. Le programme de mathématiques l'enseigne en 5e, sous le nom de « cylindre de révolution ».

Si vous partez du diamètre D, la formule s'écrit aussi V = π × D² / 4 × h. C'est la même : (D / 2)² = D² / 4.

Exemple résolu : une cuve de 1,20 m de diamètre

Exemple fictif : une cuve ronde mesure 1,20 m de diamètre intérieur et 2 m de haut. Combien contient-elle ?

1. Rayon : r = 1,20 / 2 = 0,6 m.
2. Rayon au carré : r² = 0,6 × 0,6 = 0,36 m².
3. Aire de la base : π × 0,36, soit environ 1,131 m².
4. Volume : π × 0,36 × 2, soit environ 2,262 m³, arrondi à 2,26 m³.
5. En litres : 2,262 × 1 000, soit environ 2 262 L.

Contrôle en centimètres : r = 60 cm, h = 200 cm, V = π × 3 600 × 200, soit environ 2 261 947 cm³. Divisé par 1 000, cela fait bien 2 262 L.

Le chiffre est la capacité totale de la cuve, mesurée à l'intérieur. Mesurez le diamètre intérieur : sur une cuve à paroi épaisse, le diamètre extérieur donne un volume trop grand.

L'erreur classique : le diamètre à la place du rayon

Reprenons la cuve, en prenant par erreur 1,20 m comme rayon : π × 1,2² × 2 donne environ 9,05 m³. C'est quatre fois trop. Le rayon étant au carré, le doubler multiplie le volume par 2 × 2 = 4.

L'erreur inverse existe aussi : diviser deux fois par 2, une fois pour obtenir le rayon et une fois dans la formule avec D² / 4. Le résultat est alors quatre fois trop petit.

Le volume d'un tube : contenance ou matière

Un tube pose deux questions différentes.

• Ce qu'il contient : appliquez la formule du cylindre avec le diamètre intérieur. Exemple fictif : un tuyau de 10 cm de diamètre intérieur et de 3 m de long contient π × 0,05² × 3, soit environ 0,024 m³, ou 23,6 L.
• Le volume de sa paroi : retranchez le cylindre intérieur du cylindre extérieur. V = π × longueur × (R² - r²), avec R le rayon extérieur et r le rayon intérieur.

Exemple fictif : un tube d'acier de 3 m, de 10 cm de diamètre extérieur et 9 cm de diamètre intérieur. R = 0,05 m et r = 0,045 m. V = π × 3 × (0,0025 - 0,002025), soit environ 0,00448 m³ (4,5 L de métal). À 7 850 kg/m³, le tube pèse environ 35 kg. La page sur la masse volumique donne les valeurs des autres métaux.

Cuve couchée et citerne

Une cuve couchée reste un cylindre : sa « hauteur » dans la formule est sa longueur, et son diamètre se mesure à la verticale. La capacité totale ne change pas selon la position.

Le niveau, en revanche, ne se lit pas comme sur une cuve debout. Couchée, une cuve remplie à mi-hauteur est à moitié pleine ; mais remplie au quart de sa hauteur, elle ne contient qu'environ 20 % de son volume, car le bas du cercle est étroit.

Une citerne dont la section est une ellipse se calcule avec l'aire de l'ellipse : V = π / 4 × largeur × hauteur de la section × longueur. Exemple fictif : une section de 2,2 m sur 1,6 m et une longueur de 8 m donnent π / 4 × 2,2 × 1,6 × 8, soit environ 22,12 m³. Si la section est un autre ovale, la formule ne donne qu'un ordre de grandeur. Les fonds bombés ajoutent aussi un peu de volume qu'elle ignore : la capacité annoncée par le fabricant fait foi.

Cylindre, cône et sphère : trois volumes liés

Prenons un cylindre de 1 m de diamètre et de 1 m de haut. Il contient π × 0,5² × 1, soit environ 0,785 m³ (785 L).

• Le cône de même base et de même hauteur en contient le tiers : environ 0,262 m³. Voir le volume du cône.
• La boule de 1 m de diamètre, qui tient juste dans ce cylindre, en contient les deux tiers : environ 0,524 m³. C'est le résultat d'Archimède que rappelle le programme de 3e. Voir le volume de la sphère.

Un silo fait d'un cylindre et d'une demi-boule se calcule en additionnant les deux volumes : la page des formules de volume en donne l'exemple résolu.

Pour une piscine ronde, la même formule s'applique avec la profondeur moyenne de l'eau comme hauteur : voir le volume d'une piscine. Et pour passer des m³ aux litres, aux hectolitres ou aux cm³, la page m³ en litres donne toutes les correspondances.