Une pyramide contient le tiers du prisme de même base et de même hauteur. Voici la formule pour chaque base, un exemple résolu, le piège de l'apothème et la pyramide tronquée.
En bref
Le volume d'une pyramide vaut V = aire de la base × hauteur / 3. Base carrée de côté a : V = a² × h / 3 ; base rectangulaire : V = L × l × h / 3. La hauteur se mesure à la verticale du sommet, pas le long d'une face.
Mis à jour le par la rédaction. Notre méthode
La formule du volume d'une pyramide
Une pyramide a une base plate (un polygone) et des faces triangulaires qui se rejoignent en un point, le sommet. Quelle que soit la forme de la base :
V = aire de la base × h / 3
- h est la hauteur : la distance verticale entre le sommet et le plan de la base. Pour une pyramide régulière, elle tombe au centre de la base.
- L'aire de la base dépend de sa forme, voir le tableau ci-dessous.
- / 3 : on divise par 3 à la fin.
| Base | Aire de la base | Volume |
|---|---|---|
| Carré de côté a | a × a = a² | a² × h / 3 |
| Rectangle L × l | L × l | L × l × h / 3 |
| Triangle (base b, hauteur t) | b × t / 2 | b × t / 2 × h / 3 |
Le calculateur ci-dessus traite la base rectangulaire. Pour une base carrée, entrez deux fois le même côté.
Exemple résolu : une base rectangulaire en centimètres
Exemple : une pyramide a une base de 80 cm sur 60 cm et une hauteur de 1,20 m. Quel est son volume ?
- Une seule unité. Les mesures mélangent cm et m. Tout en mètres : 0,80 m, 0,60 m et 1,20 m.
- L'aire de la base. 0,8 × 0,6 = 0,48 m².
- Fois la hauteur. 0,48 × 1,2 = 0,576 m³. C'est le volume du pavé de même base et de même hauteur.
- Divisé par 3. 0,576 / 3 = 0,192 m³.
- En litres. 0,192 × 1 000 = 192 L.
Le même calcul en centimètres : 80 × 60 × 120 / 3 = 192 000 cm³. Comme 1 000 cm³ font 1 litre, on retrouve 192 L. Diviser par 100 au lieu de 1 000 est une erreur classique : la page conversion des unités de volume explique pourquoi.
Base carrée : le cas le plus courant
Pour une base carrée de côté a, la formule devient V = a² × h / 3. Une pyramide de 3 m de côté et de 2 m de haut contient 3 × 3 × 2 / 3 = 6 m³, soit 6 000 L.
Exemple pratique : un toit en pavillon, à quatre pans qui se rejoignent en un point, posé sur une maison carrée de 10 m de côté. Si le sommet est à 3 m au-dessus du plancher des combles, le volume sous le toit vaut 10 × 10 × 3 / 3 = 100 m³. C'est un ordre de grandeur : l'épaisseur des murs et de la charpente le réduit.
Base triangulaire
La base est un triangle : on commence par son aire, base du triangle × hauteur du triangle / 2. Attention, il y a deux hauteurs différentes : celle du triangle de base et celle de la pyramide.
Exemple : un triangle de base de 4 cm de côté et de 3 cm de haut, et une pyramide de 10 cm de haut.
- Aire du triangle : 4 × 3 / 2 = 6 cm².
- Fois la hauteur de la pyramide : 6 × 10 = 60 cm³.
- Divisé par 3 : 20 cm³.
La pyramide, tiers du prisme
Une pyramide contient exactement le tiers du prisme droit de même base et de même hauteur. Pour une base rectangulaire, ce prisme est un pavé : dans l'exemple résolu, 0,576 m³ pour le pavé, 0,192 m³ pour la pyramide.
On le voit sur un cube : il se découpe en trois pyramides identiques à base carrée, qui partagent le même sommet, un coin du cube. Le cône suit la même règle par rapport au cylindre (page volume d'un cône). Le calcul du pavé lui-même est détaillé sur la page volume d'un cube et d'un pavé.
Hauteur ou apothème : le piège
Dans une pyramide régulière (base carrée par exemple, sommet à la verticale du centre), l'apothème est la hauteur d'une face triangulaire, mesurée sur la face, du sommet jusqu'au milieu d'un côté de la base. C'est la longueur que l'on mesure facilement sur un objet réel. Ce n'est pas la hauteur de la pyramide.
Apothème dans la formule : volume trop grand
Pour une pyramide régulière à base carrée, la hauteur se déduit de l'apothème avec le théorème de Pythagore : h = √(apothème² - (a/2)²). Exemple : base de 6 m de côté, apothème de 5 m. Hauteur : √(5² - 3²) = √16 = 4 m. Volume : 6 × 6 × 4 / 3 = 48 m³. Avec l'apothème à la place de la hauteur, on trouverait 60 m³, soit 25 % de trop.
L'autre oubli fréquent est la division par 3. Sans elle, on obtient le volume du pavé, trois fois trop grand.
Pyramide tronquée
Une pyramide dont on a coupé le sommet parallèlement à la base s'appelle un tronc de pyramide (forme d'une trémie ou d'un bac évasé). Le plus sûr est de calculer la grande pyramide entière, puis de lui retirer la petite pyramide coupée.
Exemple : base carrée de 4 m de côté en bas, de 2 m en haut, hauteur de 3 m.
- Le côté du haut est la moitié de celui du bas : la petite pyramide coupée a donc la moitié de la hauteur de la grande. Le tronc représente l'autre moitié, soit 3 m : la grande pyramide mesure 6 m de haut, la petite 3 m.
- Grande pyramide : 4 × 4 × 6 / 3 = 32 m³.
- Petite pyramide : 2 × 2 × 3 / 3 = 4 m³.
- Tronc : 32 - 4 = 28 m³.
En refaisant cette différence de deux pyramides avec des lettres, on obtient une formule directe, valable quand les deux bases sont parallèles et de même forme : V = h / 3 × (B + b + √(B × b)), où h est la hauteur du tronc et B et b les aires des deux bases. Ici : 3 / 3 × (16 + 4 + √64) = 16 + 4 + 8 = 28 m³, le même résultat. Elle a la même structure que celle du tronc de cône.
Et ensuite
Toutes les formules de volume sont réunies sur la page des formules de volume. Pour exprimer le résultat en litres, en dm³ ou en hL, utilisez la page m³ en litres.
Questions fréquentes
Quelle est la formule du volume d'une pyramide ?
V = aire de la base × hauteur / 3. On calcule d'abord l'aire de la base (carré, rectangle ou triangle), on la multiplie par la hauteur, puis on divise par 3. Toutes les longueurs doivent être dans la même unité.
Comment calculer le volume d'une pyramide à base carrée ?
Multipliez le côté de la base par lui-même, puis par la hauteur, et divisez par 3 : V = a² × h / 3. Une pyramide de 3 m de côté et de 2 m de haut contient 3 × 3 × 2 / 3 = 6 m³.
Comment calculer le volume d'une pyramide à base triangulaire ?
Calculez l'aire du triangle de base : sa base multipliée par sa hauteur, divisée par 2. Multipliez ensuite par la hauteur de la pyramide et divisez par 3. Triangle de 4 cm de base et de 3 cm de haut, pyramide de 10 cm : 6 × 10 / 3 = 20 cm³.
Pourquoi divise-t-on par 3 ?
Parce qu'une pyramide contient exactement le tiers du prisme (ou du pavé) de même base et de même hauteur. On peut découper un cube en trois pyramides identiques, qui ont chacune pour base une face du cube et pour sommet le même coin opposé.
Qu'est-ce que l'apothème d'une pyramide ?
Dans une pyramide régulière (base carrée ou autre polygone régulier, sommet à la verticale du centre), c'est la hauteur d'une des faces triangulaires, mesurée du sommet jusqu'au milieu d'un côté de la base. Elle est plus longue que la hauteur de la pyramide. Pour une base carrée de côté a, la hauteur vaut √(apothème² - (a/2)²).
Sources
Vérifiées le . Les valeurs viennent des textes officiels et des documents cités ; celles qui sont indicatives le sont dans la page. La fiche du fournisseur, le devis du professionnel et le texte officiel font foi.
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2) (Ministère de l'Éducation nationale)
- Mathadoc, 3e, chapitre « Espace » (fiche c5espace) (Sésamath)
- Attendus de fin d'année, mathématiques, classe de 3e (Ministère de l'Éducation nationale (Eduscol))